На фронте:
- командир 709-го стрелкового полка 178-й стрелковой дивизии, подполковник.

Родился 27 апреля 1918 года в деревне Оларево, ныне Сокольского района Вологодской области, в крестьянской семье. Русский.

В 1934 году окончил педагогический техникум в городе Вологда. Работал учителем, директором начальной школы, инспектором районов в Ненецком автономном округе Архангельской области.

В 1939 году был призван в Красную армию Ненецким окрвоенкоматом. Службу начал в артиллерийской батареи 17-й стрелковой дивизии (Белорусский военный округ). Как отличник боевой и политической подготовки был направлен в военное училище.

В 1941 году окончил Ивановское военно-политическое училище. В том же году в училище вступил в ВКП(б)/КПСС. В звании младшего политрука был назначен политруком мотострелковой роты 28-й танковой армии (Прибалтийский военный округ).

Здесь встретил начало Великой Отечественной войны. Участвовал в боях с захватчиками с первых дней, через два дня принял командование ротой, заменив погибшего офицера. В начале июля был ранен, лечился в госпитале 2 месяца.

После выздоровления направлен в 33-ю стрелковую дивизию Северо-Западного фронта, назначен комсоргом 82-го стрелкового полка. Не успев освоится в новой должности, как был назначен командиром истребительного отряда. В одном из разведвыходов в январе 1942 года его группа дважды столкнулась с группами гитлеровцев, превосходящей по численности. В обоих боях наши бойцы вышли победителями. Сам младший политрук был ранен и попал в госпиталь. За этот бой награжден орденом Красного Знамени.

После госпиталя окончил офицерские курсы, получил звание старшего лейтенанта. Службу продолжил в 178-й стрелковой дивизии на Клининском фронте. В конце марта 1942 года принял 709-м командование полком, сменив полковника Сафиуллина. Успешно командовал полком до Победы.

До сентября 1942 года полк под его командованием участвовал в боях в районе Ржева части дивизии полностью очистили от гитлеровцев северный берег Волги и таким образом ликвидировали один из опасных плацдармов немцев.

К весне 1943 года 178-я стрелковая дивизия вышла на дальние подступы к Смоленску, к Кулагинским высотам, которые являлись важным ключом к "смоленским воротам", сердцевиной обороны фашистов на подступах к Смоленску. В мае 1943 года за умелую организацию за деревню Иваново (Вяземского района Смоленской области) подполковник Костров награжден орденом Красной Звезды.

В августе 1943 года полк под командованием Кострова в составе дивизии, принимая участие в Смоленской операции в составе 83-го стрелкового корпуса 39-й армии Калининского фронта, освободил десятки населенных пунктов, и штурмом овладел важнейшим опорным пунктом обороны немцев на пути к Смоленску - город Духовщина.

В январе 1944 года полк освободил город Новосокольники (Псковская область). Из донесения начальника политотдела 178-й дивизии от 29 января 1944 года: "Особенно отличились в боях подразделения 709-го стрелкового полка, где командиром подполковник Б.А. Костров, его заместителем по политчасти майор П.М. Шапкин. Бойцы 709-го стрелкового полка первыми ворвались в город Новосокольники и водрузили победное знамя. За умелую организацию боя представлены к награждению орденом Красного Знамени командир полка Костров, командир батальона капитан Кобзаренко и командир роты старший лейтенант Пыжов, бойцы которого первыми ворвались в город". За эту операцию награжден вторым орденом Красного Знамени.

Летом 1944 года успешно проведена операция по прорыву линии Маннергейма, освобожден город Выборг, и Финляндия как сателлит "Третьего рейха" вышла из войны. За отличия в боях при прорыве линии Маннергейма и овладении городом-крепостью Выборг 709-м стрелковому полку присвоено наименование Выборгский, а командир полка награжден орденом Суворова 3-й степени.

Из наградного листа: "В боях на Карельском перешейке в период с 20 по 25 июня 1944 года проявил личное мужество, отвагу и высокое воинское искусство в управлении боем вверенного ему полка. 20.6.1944 г. развернувшись и вступив в бой схода, полк ворвался в тыловой оборонительный рубеж и захватил 12 населенных пунктов, шоссейную и железную дорогу, идущую от Выборга на северо-восток, занял станцию Карстелян и переправы через реки Перс-йоки и железной дороги, чем лишил возможности противника вывести остатки битого гарнизона из Выборга и подбросить свежие силы. Искусно и умело воюя за 5 суток полк под руководством подполковника Кострова прогрыз тыловой оборонительный рубеж на глубину 14 км".

По окончании Выборгской операции, части 23-й армии, в состав которой входила 178-я стрелковая дивизия, совершенствовали оборону на занимаемом рубеже, широкомасштабных боевых действий не вели. С выходом Финляндии из войны в сентябре 1944 года находилась на обороне советско-финской границы на Карельском перешейке до конца войны.

В декабре 1944 года подполковник Костров был направлен на учебу в военную академию имени Фрунзе, но полный курс тогда не закончил. Через полгода был направлен на Дальний Восток. В штабе 36-й армии Забайкальского фонта исполнял обязанности заместителя начальника оперативного отдела штаба, начальником отделения по использованию опыта войны. В августе и сентябре 1945 года 36-я армия участвовала в Хингано-Мукденской операции. За хорошо организованную работу по сбору материалов и описанию боевых действий корпусов, дивизий, полков, батальонов и мелких подразделений армии награжден орденом Отечественной войны 2-й степени.

После войны находился на штабной работе в Забайкальском военном округе. В 1952 году заочно окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе, в 1954 году - Академию генерального штаба имени Ворошилова. С 1956 по 1959 годы - заместитель командира 62-й гвардейской мотострелковой дивизии.

В 1959 году назначен начальником Калининского суворовского военного училища. Руководил учебным заведением до последних дней жизни.

Жил в городе Калинин (Тверь). Скончался 30 апреля 1970 года. Похоронен на Николо-Малицком кладбище города Калинина.

Награжден двумя орденами Красного Знамени (17.03.1942, 04.02.1944), орденами Трудового Красного Знамени, Суворова 3-й степени (30.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (07.09.1943), двумя орденами Красной Звезды (07.06.1943, …), медалями.