На фронте:
- командир эскадрильи 13-го бомбардировочного авиационного полка / летчик-инструктор 27-й учебной офицерской авиационной дивизии, майор.

Родился 1 апреля 1909 года в деревне Плехово Шуйского уезда Владимирской губернии, ныне - Шуйского района Ивановской области. Русский. Окончил семилетнюю школу.

В 1931 году был призван в Красную Армию Шуйским райвоенкоматом. Был направлен в Ленинградскую военную теоретическую школу летчиков, затем в 1933 году окончил летное училище. В 1931 году вступил в ряды ВКП(б)/КПСС.

Службу проходил в частях бомбардировочной авиации в должность младшего летчика. Участвовал в войне с Финляндией 1939-1940 годов. За выполнение боевых заданий награжден орденом Красной Звезды.

В Великую Отечественную войну капитан Челышев вступил в должности командир эскадрильи 13-го бомбардировочного авиационного полка. Полк базировался в под Белостоком (ныне - Польша), в состав 9-й авиационной дивизии Западного Особого военного округа. Полк имел на вооружении самолеты СБ (АНТ-40) и Ар-2 и готовился к освоению новых Пе-2.

Вступил в боевые действия с первых дней войны. Новые пикировщики Пе-2 личный состав полка уже осваивал по ходу боевых действий. Уже 10 июля экипажи на новых самолетах ушли в боевой вылет, сдерживая танки врага на Смоленском направлении. Ведущим был капитан Челышев.

Из воспоминаний летчика полка П. И. Цупко: "Зенитки, пехота, артиллерия сегодня нас не интересовали. Мы искали танки и вскоре нашли их. Они выползали из оврага и рассредоточивались, явно готовясь к атаке фланга наших войск. Я прикинул в уме возможный ракурс атаки. В это время наш ведущий капитан Челышев качнул крыльями - подал сигнал, и мы перестроились в колонку, приготовясь к бомбардировке. Но не успели: нас атаковали появившиеся с запада две четверки Ме-109. Немецкие летчики вели себя нахально. Уверенные в предстоящем успехе, они неторопливо парами разошлись в стороны, а затем, не открывая огня, начали сближение с нашим замыкающим звеном. В сумеречном небе вытянутые фюзеляжи "мессершмиттов" с тонкими короткими крыльями походили на черных ос, которые готовы были ужалить избранные ими жертвы.
Увы! Растянутые в цепочку, мы не могли помочь друг другу, и фашисты имели возможность атаковать и уничтожить каждое звено в отдельности. Как же поступит ведущий, что предпримет? Вокруг челышевского самолета полыхали разрывы зенитных снарядов, но он не маневрировал - выдерживал боевой курс и готовился бомбить: танки были почти под ним. По "петляковым" стреляли зенитки, установленные на платформах автомашин. Через несколько секунд и мне предстояло вывести машину на боевой курс.
Я снова оглянулся на четвертое звено и разглядел следующее: три "мессершмитта" прекратили атаку и взмыли вверх, а четвертый, окутанный дымом, падал вниз. Звено Пе-2 продолжало полет к цели в полном составе.
- Молодцы ребята, - порадовался я за товарищей.
Отбомбившись, Челышев вместе со своими ведомыми огнем из пулеметов решил прикрыть последующие звенья, защитив их от вражеских атак. Им удалось отогнать "мессершмитты", и те улетели.
Несмотря на то что мы впервые бомбили с Пе-2, удары оказались меткими: на земле горели разбитые танки, остальные пятились назад в овраг.
Эскадрилья собралась, построилась клином и направилась в сторону своего аэродрома".

В дальнейшем на самолетах Пе-2 в составе 43-й скоростной авиационной дивизии Западного фронта полк участвовал в боях под Ельней и Смоленском, а также в оборонительных боях под Москвой.

К концу сентября 1941 года на счету капитана Челышева было 26 боевых вылетав и он был представлен к награждению орденом Красного Знамени.

Из наградного листа: "Капитан Челышев за время с 20 августа 1941 года имеет 14 боевых вылетов на бомбардирование войск и мотомехчастей противника в полосе наступления 19 армии в районах: Сущево, Замятине, Казакове, Духовщина, Мишино, Щелкино, Быково, Пердино, Потапово, ж.д. ст. Колодня, складов горючего около Смоленска, колонн войск противника по шоссейным дорогам Смоленск - Духовщина, Духовщина - Ярцево, и др. пункты.
Все боевые вылеты совершал ведущим группы. Эскадрилья капитана Челышева за период боевых действий с Германией имеет 334 самолетовылетов. Все самолетовылеты эскадрилья выполняет хорошо. Лично сам капитан Челышев отличный летчик, отлично владеющий техникой пилотирования на самолете Пе-2. Почти все бомбометания и в особенности в последнее время производит с пикирования с последующим обстрелом из пулеметов".

В конце 1941 года полк вывели из боевого состава Западного фронта и направлен за пополнением, за новыми самолетами Пе-2. В это время как имеющий боевой опыт двух войн, был отозван в Москву.

Видимо в это время был направлен в 27-ю запасную авиационную бригаду авиации дальнего действия (АДД) с местом базирования в городе Бузулук Чкаловской (ныне - Оренбургской) области. Бригада готовила ночные экипажи для дальней авиации. В декабре 1944 года вошла в состав 18-й воздушной армии ВВС Красной Армии и была переименована в 27-ю учебную офицерскую дивизию ночных экипажей. Войну майор Челышев закончил в должности летчика-инструктора учебной дивизии.

Сведений о послевоенной жизни не найдено. Умер 27 мая 1961 года.

Награжден орденом Красного Знамени (02.11.1941), двумя орденами Красной Звезды (19.05.1940, 06.11.1947), медалями. .