На время представления к званию Герой Советского Союза:
командир эскадрильи 338-го Рижского авиационного полка дальнего действия 12-й Мгинской авиационной дивизии дальнего действия 7-го авиационного корпуса Авиации Дальнего Действия (АДД), майор.

Родился 16 апреля 1907 года в деревне Соколово ныне Сусанинского района Костромской области в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1944. Зимой учился в церковно-приходской школе, летом - помогал отцу в поле. Став старше, стал работать молотобойцем, затем кузнецом в совхозе «Медведки».

Затем переехал в город Кострому, работал кузнецом-молотобойцем на заводе «Рабочий металлист». Переехав в город Иваново работал кузнецом на железнодорожной станции. Учился на вечернем рабфаке, занимался в местном аэроклубе. В июне 1931 года в числе активистов аэроклуба был направлен в 2-ю школу летчиков Гражданского воздушного флота (ГВФ), город Тамбов.

В 1933 году, после окончания летной школы, был призван Тамбовским райвоенкоматом в ряды Красной Армии. Зачислен в войсковую часть 1690 при Военно-воздушной академии в качестве пилота-инструктора срочной службы. В 1935 году был демобилизован. Работал пилотом, командиром 240-го и 28-го отряда ГВФ, город Куйбышев.

В июне 1941 года, с началом Великой Отечественной войны, призван в Красную Армию, стал летчиком-бомбардировщиком. Воевал командиром корабля Ли-2 в составе Московской авиагруппы особого назначения, 12-го гвардейского авиационного полка дальнего действия.

Экипаж самолета Ли-2 под командованием Крюкова участвовал в смелых налетах на вражеские аэродромы, мосты, переправы, бомбил крупные железнодорожные узлы и военно-промышленные объекты противника, скопления боевой техники и живой силы, доставлял боеприпасы и питание, летал в глубокий тыл противника для выброски листовок и десантных групп.

Во время блокады Ленинграда летчик Крюков в числе первых доставлял боеприпасы и продовольствие фронту и населению города, совершил 140 боевых вылетов в осажденный город. При осаде немцами Севастополя экипажу самолета было поручено доставить срочный груз. Не смотря на сложную метеорологическую обстановку и противодействие зенитной артиллерии врага груз был доставлен вовремя. Обратным рейсом летчик забрал детей и стариков из блокированного Севастополя. Только в сражении за Сталинград Крюков совершил 76 боевых вылетов по доставке боеприпасов и продовольствия фронту и 6 вылетов по выброске десантов.

В июне-июле 1942 года экипаж Крюкова выполнил ряд правительственных заданий по доставке грузов и летных экипажей в Иран и Ирак.

За период с начала войны по август 1944 года экипаж Крюкова произвел 36 боевых вылетов с посадкой на площадках в тылу противника. Он доставлял партизанам оружие, боеприпасы. В сентябре 1943 года в район Молодечно экипаж Крюкова доставил в белорусский партизанский отряд противотанковые пушки и боеприпасы. В другой раз в районе города Россошь выбросил группу десантников-диверсантов, которые уничтожили на аэродроме большое количество самолетов врага.

В полку Крюков считался еще и мастером бомбовых ударов, отличался точностью бомбометания. Три боевых вылета самолет Крюкова совершил на бомбардирование военно-промышленных объектов финляндского города Котка. Летал он и на Таллинн, и на Ригу. 130 ночных бомбовых ударов нанес экипаж Крюкова по сильно обороняемым железнодорожным узлам: Курск, Орел, Льгов, Брянск, Рославль, Ржев, Вязьма, Сычевка, Мга, Полоцк, Гатчина.

С мая 1944 года – командир эскадрильи 338-го авиационного полка дальнего действия. За короткий период эскадрилья по его командованием совершила 78 успешных боевых вылетов. К августу 1944 года совершил 427 боевых вылетов, из них 252 ночных, на бомбардировку военных объектов в тылу врага, скоплений его войск и был представлен к высокому званию.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 5 ноября 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками майор Александру Александровичу Крюкову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (N 5312).

После получения высокой награды продолжал участвовать в боевых вылетах. Водил свой самолет в районы Праги для сбрасывания листовок, причем полет длился до 12-13 часов. Всего к маю 1945 года майор Крюков совершил 431 боевой вылет, в том числе 264 - ночных, и сбросил на врага более 300 тонн бомб.

В феврале 1945 года майор Крюков уволен в запас по состоянию здоровья в запасе. Жил в городе Куйбышев (ныне - Самара). Продолжал работать в Гражданской авиации: пилотом в 240-м отряде Волжского управления ГВФ, диспетчером в аэропорту. Скончался 18 октября 1957 года.

Награждён двумя орденами Ленина (25.12.1942, 5.11.1944), орденом Отечественной войны 1-й (10.08.1943) и 2-й (15.10.1945) степени, орденом Красной Звезды (3.06.1942), медалями.

Его имя увековечено в Самаре, на мемориальном знаке Героям в парке Металлургов.